Competitive Math Guide | Time & Work ( সময় এবং কাজ ) Part - 1 | Math Class - 1

 Competitive Math Guide | Time & Work ( সময় এবং কাজ ) Part - 1 | Math Class - 1

আজকের ক্লাসে আমরা সময় কার্যের অঙ্ক গুলো শেখার চেষ্টা করবো, এই চ্যাপ্টার থেকে রাজ্য কেন্দ্রীয় বিভিন্ন পরীক্ষায় প্রশ্ন আসতে দেখা যায় , তবে চলো শেখার চেষ্টা করি :- 

যদি এক ব্যক্তি 10 দিনে যেকোনো একটি কাজ শেষ করতে পারে তার অর্থ হলো ওই ব্যক্তি 1 দিনে করে ওই কাজটির 1/10 অংশ। 

আমাদের এটা মাথায় রাখতে হবে কোনো ব্যক্তির 1 দিনের কাজ সবসময় দিনের উল্টো হয় অর্থাৎ অংশ হয়।

এবং অংশ কে উল্টে দিলে দিন নির্ণয় করা যায়

 B একটি কাজ 15 দিনে শেষ করতে পারে তার মানেই হলো B প্রতিদিন করে ওই কাজটির 1/15 অংশ । আবার 1/15 অংশ 1 দিনের কাজ তার মানেই মোট কাজ শেষ করে 1/15 এর উল্টো দিনে অর্থাৎ 15 দিনে

* কোনো দুই ব্যক্তির কর্মদক্ষতার অনুপাত সবসময় তাদের 1 দিনের কাজের অংশের অনুপাতের সমান হয় ।

 * কর্মদক্ষতার অনুপাত = কাজের অনুপাত = 1/সময়ের অনুপাত

যেমন A একটি কাজ 10 দিনে শেষ করে এবং B একটি কাজ 15 দিনে শেষ করতে পারে তার মানে তাদের মধ্যে কর্মদক্ষতার অনুপাত 1/10 : 1/15 ( এখানে 1/10 হলো A এর 1 দিনের কাজ এবং 1/15 হলো B এর 1 দিনের কাজ )

অর্থাৎ অনুপাত হলো = 1/10 : 1/15 = 60×1/10 : 60×1/15
= 6 : 4 = 3 : 2

সময় কার্যের অঙ্ক আমরা দুটো পদ্ধতিতে করতে পারি আর দুটো পদ্ধতিই আমাদের শিখে রাখা দরকার । 

প্রথম পদ্ধতি, ভগ্নাংশ পদ্ধতি বা গতানুগতিক পদ্ধতি :

যেমন, একটি অঙ্ক এমন দেওয়া রয়েছে : 

A একটি কাজ 8 দিনে শেষ করতে পারে এবং B ওই একই কাজ 10 দিনে শেষ করতে পারে। তারা একসাথে কাজ করলে কাজটি কতদিন শেষ হবে ?

সমাধান :-  

তবে A 1 দিনে করে 1/8 অংশ এবং B 1 দিনে করে 1/10 অংশ ( এখানে মোট কাজ 1 অংশ ধরে করা হয় )

(A+B) একত্রে 1 দিনে করে = 1/8 + 1/10 = (5+4)/40 = 9/40 অংশ 

অতএব (A+B) সমস্ত কাজটি শেষ করে = 1/(9/40)= 40/9 ( কারণ আগেই বলা আছে কাজ কে উল্টে দিলে নির্নয় দিন পাওয়া যায়)

আমাদের উত্তর হলো 40/9 বা 4 4/9 দিন

এবার আমরা দ্বিতীয় পদ্ধতি এবং সবথেকে কম সময়ে করার পদ্ধতি শিখবো

দ্বিতীয় পদ্ধতি, ল.সা.গু পদ্ধতি :

যেমন, একটি অঙ্ক এমন দেওয়া রয়েছে : 

A একটি কাজ 8 দিনে শেষ করতে পারে এবং B ওই একই কাজ 10 দিনে শেষ করতে পারে। তারা একসাথে কাজ করলে কাজটি কতদিন শেষ হবে ?

সমাধান : 

8 এবং 10 এর ল.সা.গু = 40 ( যেটি ধরবো আমরা মোট কাজ , এই পদ্ধতিতে লসাগু যেটা বেরোবে সেটাই মোট কাজ হয় )

এখন A একা 8 দিনে করে 40 ইউনিট কাজ 
তবে A একা 1 দিনে করে 40/8 = 5 ইউনিট কাজ ( এই একদিনের কাজটাই আবার A এর efficiency বা কর্মদক্ষতা )

আবার B একা 10 দিনে করে 40 ইউনিট কাজ 
B একা 1 দিনে করে 40/10 = 4 ইউনিট কাজ ( এটি B এর কর্মদক্ষতা )

এখন, (A+B) একসাথে 1 দিনে করে (5+4) = 9 ইউনিট কাজ 

এখন (A+B) একসাথে 9 ইউনিট কাজ করে 1 দিনে 

তবে (A+B) একসাথে 1 ইউনিট কাজ করে 1/9 দিনে

(A+B) একসাথে মোট কাজ অর্থাৎ 40 ইউনিট কাজ করে 40/9 = 4 4/9 দিনে (উত্তর)

আমরা এটাও মনে রাখতে পারি = নির্নয় সময় = মোট কাজ/তাদের 1 দিনের মোট কাজ

আমরা বেশির ভাগ অঙ্ক এখানে লসাগু পদ্ধতিতেই করবো, ধীরে ধীরে বুঝে অঙ্ক গুলো প্র্যাকটিস করতে থাকো -

উদাহরণ (2) : 

A এবং B একত্রে একটি কাজ 12 দিনে করতে পারে, যদি A ওই কাজ একা 30 দিনে করতে পারে তবে B কতদিনে একা ওই কাজ সম্পন্ন করতে পারবে ? 

সমাধান : 

(A+B) একটি কাজ 12 দিনে করে এবং A একা ওই কাজ 30 দিনে করে 

12 এবং 30 এর লসাগু = 60 = মোট কাজ 

(A+B) একসাথে 12 দিনে করে 60 ইউনিট কাজ 

(A+B) একসাথে 1 দিনে করে 60/12 = 5 ইউনিট কাজ

আবার A একা 30 দিনে করে 60 ইউনিট কাজ 

A একা 1 দিনে করে 60/30 = 2 ইউনিট কাজ

 
(A+B) এর 1 দিনের কাজ = 5 ইউনিট

আবার A এর 1 দিনের কাজ = 2 

তার মানে নিশ্চয় B এর 1 দিনের কাজ = 5 - 2 = 3 ইউনিট

এখন, B একা 3 ইউনিট কাজ করে 1 দিনে 

তবে B একা 1 ইউনিট কাজ করে 1/3 দিনে 

মোট  60 ইউনিট কাজ করে 60/3 = 20 দিনে (উত্তর)

বিকল্প ভাবে, 

(A+B) = 1/12 এবং A = 1/30

B = 1/12 - 1/30 = (5-2)/60 = 1/20

B এর 1 দিনের কাজ 1/20 অংশ

তবে  মোট কাজ শেষ করে 1/(1/20) = 20 দিনে (উত্তর)

নিচে বেশ কিছু অঙ্ক দেওয়া হলো, নিজেরা করার চেষ্টা করো, না পারলে সমাধান দেখে বোঝার চেষ্টা করো :-


***********************

1.প্রশ্ন :  A এবং B একটি কাজ যথাক্রমে 10 দিন এবং 12 দিনে সম্পন্ন  করে। A এবং B একসাথে কাজ শুরুর 3 দিন পর A চলে যায় , কত দিন কাজটি সম্পন্ন  হবে ? 

(a) 6 2/5

(b) 7 3/5

(c) 8 2/5 

(d) 9 3/5

Ans: (c) 8 2/5
সমাধান :

-----------------------------------------------------------------------

2.প্রশ্ন :  A এবং B একটি কাজ 10 দিন এবং 15 দিনে সম্পন্ন  করে । একসাথে কাজ শুরুর করার কিছুদিন পর A চলে যায় এবং সম্পূর্ণ কাজটি 9 দিনে শেষ হলে, A কত দিন পর কাজ ছেড়ে চলে গিয়েছিল ?

(a) 6 

(b) 4 

(c) 8

(d) 10

Ans: (b) 4
সমাধান :

-----------------------------------------------------------------------

3.প্রশ্ন :  তিন ব্যক্তি A,B এবং C একটি কাজ 10 , 12 এবং 15 দিনে সম্পন্ন করে। যদি তারা একসাথে কাজ শুরু করার 2 দিন পর A কাজ ছেড়ে চলে যায় এবং তার আরো 2 দিন পর C চলে যায় তবে পুরো কাজটি কতদিন সম্পন্ন হবে ?

(a) 4 2/5

(b) 6

(c) 6 2/5 

(d) 7 2/5

Ans: (c) 6 2/5
সমাধান :

-----------------------------------------------------------------------

4.প্রশ্ন :  A,B, C একটি কাজ যথাক্রমে 10 , 12 এবং 15 দিনে সম্পন্ন করতে পারে। A এবং B কাজ শেষ হওয়ার 2 দিন আগে কাজ ছেড়ে চলে যায়। তবে সম্পূর্ণ কাজটি কতদিনে শেষ হবে ?

(a) 5 7/15 

(b) 12

(c) 15

(d) 9 1/3

Ans: (a) 5 7/15
সমাধান :

-----------------------------------------------------------------------

5. প্রশ্ন :  তিন ব্যক্তি A,B এবং C একটি কাজ 10 , 12 এবং 15 দিনে সম্পন্ন করে, যদি কাজ শেষ হওয়ার 2 দিন আগে A এবং 3 দিন আগে B কাজ ছেড়ে চলে যায় তবে কাজটি কতদিনে শেষ  হবে ?

(a) 5 1/5

(b) 5 2/5

(c) 5 3/5

(d) 5 4/5 

Ans: (d) 5 4/5
সমাধান :

-----------------------------------------------------------------------